第五章 相交线与平⾏线
⼀、知识⽹络结构
⼆、知识要点
1、在同⼀平⾯内，两条直线的位置关系有 两 种： 相交 和 平⾏ ， 垂直 是相交的⼀种特殊情况。
2、在同⼀平⾯内，不相交的两条直线叫 平⾏线 。如果两条直线只有 ⼀个 公共点，称这两条直线相交；
如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平⾏。
3、两条直线相交所构成的四个⾓中，有 公共顶点 且有 ⼀条公共边 的两个⾓是
邻补⾓。邻补⾓的性质： 邻补⾓互补 。如图1所⽰， 与 互为邻补⾓，
与 互为邻补⾓。 + = 180°； + = 180°； + = 180°；
+ = 180°。
4、两条直线相交所构成的四个⾓中，⼀个⾓的两边分别是另⼀个⾓的两边的 反向延长线 ，这样的两个⾓
互为 对顶⾓ 。对顶⾓的性质：对顶⾓相等。如图1所⽰， 与 互为对顶⾓。 = ；
= 。
5、两条直线相交所成的⾓中，如果有⼀个是 直⾓或90°时，称这两条直线互相垂直，
其中⼀条叫做另⼀条的垂线。如图2所⽰，当 = 90°时， ⊥ 。
垂线的性质：
性质1：过⼀点有且只有⼀条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外⼀点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
性质3：如图2所⽰，当 a ⊥ b 时， = = = = 90°。
点到直线的距离：直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
6、同位⾓、内错⾓、同旁内⾓基本特征：
①在两条直线(被截线)的 同⼀⽅ ，都在第三条直线(截线)的 同⼀侧 ，这样
的两个⾓叫 同位⾓ 。图3中，共有 对同位⾓： 与 是同位⾓；
与 是同位⾓； 与 是同位⾓； 与 是同位⾓。
②在两条直线(被截线) 之间 ，并且在第三条直线(截线)的 两侧 ，这样的两个⾓叫 内错⾓ 。图3中，共有
对内错⾓： 与 是内错⾓； 与 是内错⾓。
③在两条直线(被截线)的 之间 ，都在第三条直线(截线)的 同⼀旁 ，这样的两个⾓叫 同旁内⾓ 。图3中，
共有 对同旁内⾓： 与 是同旁内⾓； 与 是同旁内⾓。
7、平⾏公理：经过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏。
平⾏公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平⾏，那么这两条直线也互相平⾏。
平⾏线的性质：
性质1：两直线平⾏，同位⾓相等。如图4所⽰，如果a∥b，
则 = ； = ； = ； = 。
性质2：两直线平⾏，内错⾓相等。如图4所⽰，如果a∥b，则 = ； = 。
性质3：两直线平⾏，同旁内⾓互补。如图4所⽰，如果a∥b，则 + = 180°；
+ = 180°。
性质4：平⾏于同⼀条直线的两条直线互相平⾏。如果a∥b，a∥c，则 ∥ 。
8、平⾏线的判定：
判定1：同位⾓相等，两直线平⾏。如图5所⽰，如果 =
或 = 或 = 或 = ，则a∥b。
判定2：内错⾓相等，两直线平⾏。如图5所⽰，如果 = 或 = ，则a∥b 。
判定3：同旁内⾓互补，两直线平⾏。如图5所⽰，如果 + = 180°；
+ = 180°，则a∥b。
判定4：平⾏于同⼀条直线的两条直线互相平⾏。如果a∥b，a∥c，则 ∥ 。
9、判断⼀件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题 和 假命题 之分。如果题设
成⽴，那么结论 ⼀定 成⽴，这样的命题叫 真命题 ；如果题设成⽴，那么结论 不⼀定 成⽴，这样的命题
叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。
10、平移：在平⾯内，将⼀个图形沿某个⽅向移动⼀定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移
。
平移后，新图形与原图形的 形状 和 ⼤⼩ 完全相同。平移后得到的新图形中每⼀点，都是由原图形中的某
⼀点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
平移性质：平移前后两个图形中①对应点的连线平⾏且相等；②对应线段相等；③对应⾓相等。
第六章 实数
【知识点⼀】实数的分类
1、按定义分类： 2.按性质符号分类：
注：0既不是正数也不是负数.
【知识点⼆】实数的相关概念
1.相反数
(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中⼀个是另⼀个的相反数．0的相反数是0.
(2)⼏何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表⽰的两个数互为相反数，或数轴上，互为
相反数的两个数所对应的点关于原点对称.
(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0.
2.绝对值 |a|≥0．
3.倒数 （1）0没有倒数 (2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 .
4.平⽅根
(1)如果⼀个数的平⽅等于a，这个数就叫做a的平⽅根．⼀个正数有两个平⽅根，它们互为相反数；0有⼀
个平⽅根，它是0本⾝；负数没有平⽅根．a(a≥0)的平⽅根记作．
(2)⼀个正数a的正的平⽅根，叫做a的算术平⽅根．a(a≥0)的算术平⽅根记作 ．
5.⽴⽅根
如果x3=a，那么x叫做a的⽴⽅根．⼀个正数有⼀个正的⽴⽅根；⼀个负数有⼀个负的⽴⽅根；零的⽴
⽅根是零．
【知识点三】实数与数轴
数轴定义： 规定了原点，正⽅向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺⼀不可．
【知识点四】实数⼤⼩的⽐较
1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表⽰的数较⼤.
2.正数都⼤于0，负数都⼩于0，两个正数，绝对值较⼤的那个正数⼤；两个负数；绝对值⼤的反⽽⼩.
3.⽆理数的⽐较⼤⼩：
【知识点五】实数的运算
1.加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较⼤的加
数的符号，并⽤较⼤的绝对值减去较⼩的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；⼀个数同0相加，仍得这
个数．
2.减法：减去⼀个数等于加上这个数的相反数．
3.乘法
⼏个⾮零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数
个时，积为负．⼏个数相乘，有⼀个因数为0，积就为0．
4.除法
除以⼀个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以
任何⼀个不等于0的数都得0．
5.乘⽅与开⽅
(1)an所表⽰的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数
．
(2)正数和0可以开平⽅，负数不能开平⽅；正数、负数和0都可以开⽴⽅．
(3)零指数与负指数
【知识点六】有效数字和科学记数法
1.有效数字：
⼀个近似数，从左边第⼀个不是0的数字起，到精确到的数位为⽌，所有的数字，都叫做这个近似数的有
效数字．
2.科学记数法：
把⼀个数⽤ (1≤ ＜10，n为整数)的形式记数的⽅法叫科学记数法．
第七章 平⾯直⾓坐标系
⼀、知识⽹络结构
⼆、知识要点
1、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b） 。
2、平⾯直⾓坐标系：在平⾯内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平⾯直⾓坐标系。
3、横轴、纵轴、原点：⽔平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平⾯
直⾓坐标系的原点。
4、坐标：对于平⾯内任⼀点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂⾜分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫
点P的横坐标和纵坐标，记作P(a，b)。
5、象限：两条坐标轴把平⾯分成四个部分，右上部分叫第⼀象限，按逆时针⽅向依次叫第⼆象限、第三
象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何⼀个象限内。
6、各象限点的坐标特点①第⼀象限的点：横坐标 0，纵坐标 0；②第⼆象限的点：横坐标 0，纵坐标 0；
③第三象限的点：横坐标 0，纵坐标 0；④第四象限的点：横坐标 0，纵坐标 0。
7、坐标轴上点的坐标特点①x轴正半轴上的点：横坐标 0，纵坐标 0；②x轴负半轴上的点：横坐标 0，纵
坐标 0；③y轴正半轴上的点：横坐标 0，纵坐标 0；④y轴负半轴上的点：横坐
标 0，纵坐标 0；⑤坐标原点：横坐标 0，纵坐标 0。(填“>”、“<”或“=”)
8、点P(a，b)到x轴的距离是 |b| ，到y轴的距离是 |a| 。
9、对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点，横坐标 相等，纵坐标 互为相反数；②关于y轴对称的两个
点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。
10、点P(2，3) 到x轴的距离是 ； 到y轴的距离是 ； 点P(2，3) 关于x轴对称的点坐标为( ， )；点P(2，3)
关于y轴对称的点坐标为( ， )。
11、如果两个点的 横坐标 相同，则过这两点的直线与y轴平⾏、与x轴垂直 ；如果两点的 纵坐标相同，则
过这两点的直线与x轴平⾏、与y轴垂直 。如果点P(2，3)、Q(2，6)，这两点横坐标相同，则PQ∥y轴，PQ
⊥x轴；如果点P(-1，2)、Q(4，2)，这两点纵坐标相同，则PQ∥x轴，PQ⊥y轴。
12、平⾏于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平⾏于y轴的直线上的点的横坐标相同；在⼀、三象限⾓平分
线上的点的横坐标与纵坐标相同；在⼆、四象限⾓平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。如果点P(
a，b) 在⼀、三象限⾓平分线上，则P点的横坐标与纵坐标相同，即 a = b ；如果点P(a，b) 在⼆、四象限
⾓平分线上，则P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即 a = －b 。
13、表⽰⼀个点(或物体)的位置的⽅法：⼀是准确恰当地建⽴平⾯直⾓坐标系；⼆是正确写出物体或某地
所在的点的坐标。选择的坐标原点不同，建⽴的平⾯直⾓坐标系也不同，得到的同⼀个点的坐标也不同。
14、图形的平移可以转化为点的平移。坐标平移规律：①左右平移时，横坐标进⾏加减，纵坐标不变；②
上下平移时，横坐标不变，纵坐标进⾏加减；③坐标进⾏加减时，按“左减右加、上加下减”的规律进⾏。
如将点P(2，3)向左平移2个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点P(2，3)向右平移2个单位后得到的点的坐
标为( ， )；将点P(2，3)向上平移2个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点P(2，3)向下平移2个单位后得到
的点的坐标为( ， )；将点P(2，3)先向左平移3个单位后再向上平移5个单位后得到的点的坐标为( ， )；将
点P(2，3)先向左平移3个单位后再向下平移5个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点P(2，3)先向右平移3个
单位后再向上平移5个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点P(2，3)先向右平移3个单位后再向下平移5个单
位后得到的点的坐标为( ， )。
